Penyelesaian Tugas/Latihan Persamaan Diferensial

1. PD: y² dx + 4xy dy = 0

a. Menentukan jenis PD

Untuk menentukan jenis PD, kita periksa apakah PD ini homogen:

M(x,y) = y² N(x,y) = 4xy

Uji homogenitas:

• M(λx,λy) = (λy)² = λ²y² = λ²M(x,y)
• N(λx,λy) = 4(λx)(λy) = 4λ²xy = λ²N(x,y)

Karena M(λx,λy) = λ²M(x,y) dan N(λx,λy) = λ²N(x,y), PD ini adalah homogen berderajat 2.

b. Penyelesaian PD

Untuk PD homogen, gunakan substitusi y = vx, sehingga dy = v dx + x dv

Substitusi ke PD: (vx)² dx + 4x(vx)(v dx + x dv) = 0 v²x² dx + 4vx²(v dx + x dv) = 0 v²x² dx + 4v²x² dx + 4vx³ dv = 0 5v²x² dx + 4vx³ dv = 0

Pisahkan variabel: 5v²x² dx + 4vx³ dv = 0 Bagi dengan vx³: (5v²x² dx)/(vx³) + (4vx³ dv)/(vx³) = 0 (5v dx)/x + 4 dv = 0 5v dx/x = -4 dv dx/x = -4 dv/(5v)

Integralkan: ∫dx/x = ∫(-4/5v) dv ln x = (-4/5) ln v + C ln x = ln v^(-4/5) + C ln x + ln v^(4/5) = C ln(x·v^(4/5)) = C x·v^(4/5) = c

Substitusi balik v = y/x: x·(y/x)^(4/5) = c x·y^(4/5)/x^(4/5) = c x^(1-4/5)·y^(4/5) = c x^(1/5)·y^(4/5) = c

Jawaban: x^(1/5)·y^(4/5) = c

---

2. PD: (y² - 4) dx + 2xy dy = 0

a. Menentukan jenis PD

M(x,y) = y² - 4 N(x,y) = 2xy

Uji homogenitas:

• M(λx,λy) = (λy)² - 4 = λ²y² - 4 ≠ λ²M(x,y)
• N(λx,λy) = 2(λx)(λy) = 2λ²xy = λ²N(x,y)

Karena M(λx,λy) ≠ λ²M(x,y), PD ini bukan homogen.

Mari periksa apakah variabel terpisah: (y² - 4) dx + 2xy dy = 0

Coba pisahkan: (y² - 4) dx = -2xy dy dx/x = -2y dy/(y² - 4)

PD ini adalah variabel terpisah.

b. Penyelesaian PD

Dari pemisahan variabel: dx/x = -2y dy/(y² - 4)

Integralkan kedua ruas: ∫dx/x = ∫(-2y)/(y² - 4) dy

Untuk integral kanan, gunakan substitusi u = y² - 4, maka du = 2y dy: ∫(-2y)/(y² - 4) dy = ∫-du/u = -ln|u| + C₁ = -ln|y² - 4| + C₁

Sehingga: ln|x| = -ln|y² - 4| + C ln|x| + ln|y² - 4| = C ln|x(y² - 4)| = C x(y² - 4) = c

Jawaban: x(y² - 4) = c

---

3. PD: (x + y) dx + x dy = 0

a. Menentukan jenis PD

M(x,y) = x + y N(x,y) = x

Uji homogenitas:

• M(λx,λy) = λx + λy = λ(x + y) = λM(x,y)
• N(λx,λy) = λx = λN(x,y)

Karena M(λx,λy) = λM(x,y) dan N(λx,λy) = λN(x,y), PD ini adalah homogen berderajat 1.

b. Penyelesaian PD

Untuk PD homogen, gunakan substitusi y = vx, sehingga dy = v dx + x dv

Substitusi ke PD: (x + vx) dx + x(v dx + x dv) = 0 x(1 + v) dx + x(v dx + x dv) = 0 x(1 + v) dx + xv dx + x² dv = 0 x(1 + v + v) dx + x² dv = 0 x(1 + 2v) dx + x² dv = 0

Pisahkan variabel: x(1 + 2v) dx + x² dv = 0 Bagi dengan x²: (1 + 2v) dx/x + dv = 0 dx/x = -dv/(1 + 2v)

Integralkan: ∫dx/x = ∫(-1)/(1 + 2v) dv ln x = (-1/2) ln|1 + 2v| + C ln x = ln|1 + 2v|^(-1/2) + C ln x + ln|1 + 2v|^(1/2) = C ln(x√|1 + 2v|) = C x√|1 + 2v| = c

Substitusi balik v = y/x: x√|1 + 2(y/x)| = c x√|1 + 2y/x| = c x√|(x + 2y)/x| = c x√|x + 2y|/√x = c √x · √|x + 2y| = c √(x(x + 2y)) = c

Jawaban: √(x(x + 2y)) = c atau x(x + 2y) = c²